“Isso é muito bonito, essas esferas e cascas são muito verdinhas, mas continuo com a mesma dúvida: como é que esse vazio que pode acontecer no seio dessa matéria rarefeita se torna numa bolha crescente?”
“Impaciente Luísa! É que eu ainda não mostrei os bonecos todos. Agora vamos fazer contas de subtrair e já vais perceber.” Virei o PC para mim e abri outra imagem:
“O que é que isto significa, minhas inteligências?”
“Lembra-me a bandeira do Japão...” e a Luísa ri-se com aquele prazer que os adultos já esqueceram. A Ana, atenta, diz:
“A distribuição inicial é igual à que resulta da soma dum buraco com uma esfera.”
“Exactamente Ana. Ora o campo numa distribuição isodensa é nulo, como já vimos; então, qual é o campo do buraco?”. Pelo canto do olho vejo o sorriso de assentimento do Mário. A Ana vai responder mas, estendendo o braço, a Luísa antecipa-se:
“O simétrico do campo da esfera, pois claro! Somado com o da esfera anula-se!!!” E bate com a mão na testa.
“Muito bem Luísa, vejo que começa a fazer-se luz. Vejamos então o campo do buraco:” e abro o desenho seguinte.
“Está certo, não está?” Dizem que sim com a cabeça. “Agora reparem no seguinte: a aceleração é máxima na parede do buraco, o que significa que as partículas aí situadas se tornarão mais velozes na direcção de fuga ao centro da bolha do que as que se encontram para fora delas; então irão ultrapassa-las. Ao fazê-lo, são agora outras as que ficam na fronteira do buraco e são estas as que vão ser mais aceleradas. Estão a ver o que vai acontecer?”
“Sim... as que ficam do lado de dentro ultrapassam as de fora, depois estas ficam por dentro e voltam a ultrapassar as primeiras... que ficam então por dentro e voltam a ultrapassar as outras... que ficam...”
“Cala-te!” interrompe a Ana a rir-se, “Já percebemos, o buraco expande e as partículas acumulam-se na sua periferia.”
“E isso assemelha-se a...”
“...uma casca?”
“Isso mesmo Luísa! O buraquinho inicial vai crescer e formar uma casca. E o campo resultante será o campo da casca somado ao do buraco:”
“Como vêem em baixo, na figura, o campo na face interior da bolha é o simétrico do campo da matéria em falta, e o campo no exterior da bolha é nulo porque a matéria da casca é a que falta no interior. Quanto mais cresce a bolha, e maior é o vazio que produz, maior é a sua aceleração. A fórmula da aceleração da bolha é muito fácil de determinar, não é Mário?”
“Não estou a perceber o que é isto de...” Luísa debruça-se sobre o monitor para ler a letra miudinha da terceira imagem, “ ... «todas as partículas da sua fronteira vão ficar sujeitas a um campo que é o simétrico do campo correspondente a toda a matéria que falta agora no seu interior»...”
A Luísa tem razão, eu escrevi aquilo para pessoas com conhecimentos que a Luísa não tem; preciso explicar as propriedades das distribuições esféricas. “Claro, Luísa, tens razão, mas vou já explicar-te isso... a não ser que o Mário queira fazer o favor de explicar as curiosas propriedades das distribuições esféricas...”,
deixo o convite no ar, ser professor é talento do Mário, não meu. O Mário hesita um momento, exprime a sua admiração:
“Mas porque queres explicar isso à Luísa e à Ana?”
“Porque, Mário, com esse simples conhecimento, nós vamos conseguir o que os maiores supercomputadores não conseguiram...”
“Lá estás tu a passares-te outra vez!” Muito se irrita o Mário com estas coisas que eu digo. Acalmo-o: “Explica lá as propriedades das distribuições esféricas e depois veremos se eu estou bom da cabeça ou não.”, rio-me.
Mário inspira para se acalmar, percebo que organiza o pensamento, ei-lo:
“Dizes bem, curiosas propriedades...”, sorri-me, aprecio o seu autocontrolo “ Sabem como é o campo gravítico produzido por um corpo, não é verdade?”
A Ana recita:
“A aceleração é proporcional à massa do corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância.”
“Isso mesmo. Se tivermos um corpo A, de massa M, qualquer corpo B que esteja à distância d sofre uma aceleração gravítica g que é dada por:
g = GM/d2
Esta afirmação contém, no entanto, uma imprecisão: como é que se mede a distância d? Entre as superfícies dos corpos A e B? Entre os seus centros?”
“Centro a centro, suponho... senão a nossa distância à Terra seria nula e a aceleração da gravidade infinita...”
“Isso mesmo Ana. Se fizermos as contas ao campo produzida por uma esfera uniforme, verificamos que é igual ao campo de um corpo punctiforme no centro da esfera com a massa M. Eis aqui a primeira propriedade interessante do campo exterior de uma esfera: é igual ao campo que se obtém supondo toda a matéria concentrada no seu centro. Perceberam?”
“Sim, isso eu já tinha percebido, é lógico.”, a humildade não faz o estilo da Luísa.
“Óptimo. Então passemos agora a uma casca esférica. Suponhamos que o corpo era oco. Essa equivalência ainda se manterá?”
“Claro! Porque não? Afinal, uma esfera maciça não é mais que uma sequência de cascas justapostas...”
“Bem observado Luísa, é isso mesmo. Portanto, tanto o campo exterior duma esfera como o duma casca esférica são o campo que se obtém considerando toda a matéria concentrada no centro. Quanto ao campo exterior, o assunto está resolvido. Mas quanto ao campo interior? Vamos por B dentro da casca! Qual será o campo em B?”
“Xiii, com essa é que me atrapalhaste!”, o riso juvenil da Luísa enche a sala, “então... no centro o campo deve ser nulo, pois o centro é atraído para todos os lados igualmente, certo?”
“Certíssimo! E fora do centro?”
“Bem... na superfície externa da casca o campo é ... GM/R2 , sendo R o raio da casca... será que o campo varia linearmente entre o centro e a superfície?”
“Hummm.... será? O que achas Ana?”
“O que acho?”, a Ana surpreendida, aluna apanhada desatenta; a Ana não gosta de mandar palpites: “ Não sei, teria de fazer as contas, dividir a casca em bocadinhos, calcular a atracção de cada bocadinho e somar.”
“Essa soma é o integral. É fácil de calcular e o resultado é algo surpreendente.”
“Sim? Então, qual é?”
O Mário inspira antes de largar a «bomba»:
"O campo no interior duma casca é nulo em toda a parte!". O silêncio que se segue é quebrado pela Luísa:
“Então o campo varia bruscamente entre a face interior e exterior da casca?”
“Isso mesmo Luísa: na face interior é nulo, na exterior é GM/R2, variando linearmente ao longo da espessura da casca.”
“E numa esfera de densidade uniforme, como varia o campo no seu interior?” a Ana curiosa.
“Agora é fácil deduzir isso; basta considerarmos a superfície esférica concêntrica que passa num ponto interior. O campo devido à coroa exterior a essa superfície é nulo, por ser o campo no interior duma casca; resta o campo devido à esfera interior. As contas são muito simples e o resultado é que o campo varia linearmente no interior.”
Lembro-me dumas figuras que tenho no computador. “Tenho aqui umas figuras que ilustram o campo de uma esfera maciça e de uma casca, querem ver:”
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