(clicar para ver melhor)
“Recapitulando, a lei do desvanecimento, que representei por a(t), reduz-se a metade em intervalos de tempo iguais; esse intervalo de tempo é a semivida da matéria. Isto para o nosso observador exterior à matéria, que vamos designar por observador R, de «referência». Para nós, observadores atómicos, ou observadores A, as coisas são diferentes, como veremos depois. Se designarmos então a semivida por Tau (t), ao fim de t anos, em R, a(t) reduziu-se para ½, ao fim de 2t anos para ¼, ao fim de 3t para 1/8, etc.”
“Estou a compreender tudo!”
“Muito bem Luísa. Então agora vou escrever a fórmula que traduz isto. Vê lá se percebes isto:”
Luísa olha com atenção. “Ah, já percebi; quando t, que representa o tempo, é zero, alfa, que é a lei do desvanecimento, vale 1, porque qualquer número elevado a 0 vale 1 por convenção; quando t vale t , ou seja, decorrida meiavida, alfa vem igual a ½; quando t vale 2t , alfa fica igual a ½ ao quadrado, ao seja, ¼; e etc!” Luísa estava visivelmente feliz e eu visivelmente admirado. Nós todos.
“Brilhante, Luísa! Não imaginava...”
“Tenho um sobrinho no liceu...”, Luísa sorri-se, dará explicações de matemática ao sobrinho?
“Mas se sabes isso tudo, diz-me lá, não posso escrever essa fórmula de uma maneira ainda mais simples?”
“Claro, por convenção um expoente negativo representa o inverso de um número, então podes pôr:”
a(t)=2-t/t
“Muito bem Luísa! É isso mesmo. Agora só nos falta saber o valor de t .”
“Então, o tempo de semivida será o tempo que o Universo leva a parecer dobrar de tamanho... se medirmos o tempo que uma dada estrela leva a dobrar a distância..”
“Esse raciocínio é interessante Luísa mas impraticável, estamos a falar de tempos da ordem de milhares de milhões de anos! E tem um problema, a nossa unidade de tempo varia com o desvanecimento, é uma unidade atómica, portanto a nossa medida de tempo não seria a mesma que um observador invariante faria, o tal observador R; e é para esse observador que a lei do desvanecimento é exponencial, para nós não é.”
“Ai não é? Então como é para nós?”
“Uma coisa de cada vez hehe. Veremos isso depois.”
“Mas não podemos medir apenas durante um ano ou coisa assim e fazer as contas a quanto variou a distância...”
“Estás lá perto Luísa; em vez do tempo de semivida podemos usar a taxa de variação instantânea. Variar para metade na semivida é apenas um caso particular da propriedade geral de variar a uma taxa constante. Se o intervalo de tempo for a semivida, a variação relativa é -50%; se for outro, a variação relativa é outra. Estás a perceber?”
“Por variação relativa queres dizer Da/a...”
“Isso mesmo Luísa.”
“Portanto, fazendo uma comparação com as taxas de juro, quando digo que um taxa de juro é de 5% ao ano, estou a dizer que num intervalo de tempo de 1 ano a variação relativa do capital é 0,05...”
“Isso mesmo Luísa, a taxa é a variação relativa a dividir pelo intervalo de tempo.”
“Sim, mas as nossas medidas terão sempre o problema de a unidade de tempo atómica variar no tempo...”
“Não Ana, porque quanto menor o intervalo de tempo, menor a importância da variação da unidade de tempo atómica. Se tiveres um relógio em R e outro em A, que começam a contar o tempo neste instante, ao fim de um milhar de milhões de anos eles marcarão tempos muito diferentes porque a unidade de tempo do relógio em A variou significativamente; mas daqui a um ano a diferença entre os dois relógios é insignificante, tanto faz usares um relógio ou o outro para as tuas medidas . O mesmo em relação às medidas de distância, porque a unidade de comprimento também varia. Estás a ver?”
“Estou estou”
“Portanto, o valor da taxa calculado num intervalo de tempo muito curto é o mesmo para um observador de referência e para nós. Matematicamente, esta taxa instantânea é a derivada da função a dividir pelo seu valor neste instante. Ora nós sabemos a aparente taxa de expansão do Universo..”
“A taxa de desvanecimento é o simétrico da taxa de expansão! Da constante de Hubble! A taxa de desvanecimento terá de ser o simétrico da constante de Hubble!”
“Certo Mário. Isso permite-nos imediatamente exprimir a Lei do Desvanecimento em função da taxa. Por acaso não aprendeste isso com o teu sobrinho, Luísa?”
“Baaahh, agora apanhaste-me em falta...”
“Não importa, eu digo. Nós já exprimimos a(t) como uma potência de 2, na base 2 como se diz, onde ela é uma função do tempo de semivida; mas podemos escolher outra base e ela já não virá em função da semivida mas de outro valor, como é lógico. Ora existe um número que escolhido para base nos põe a lei em função da taxa instantânea: o neper.”
“O quem???”
“Hehe... é um número muito peculiar, um número irracional, como o p, ou seja, um número que nunca mais acaba: 2,718 e mais uma infinidade de algarismos. Representa-se pela letrinha «e». Como a constante de Hubble se representa por H0, a lei do Desvanecimento vem:”
“Hummm.... interessante... mas então o desvanecimento corresponderá ao primeiro modelo de expansão do espaço, o modelo Einstein-de Sitter, que tem um factor de expansão exponencial... é o modelo dual do desvanecimento. Portanto, o espaço expande exponencialmente em relação à matéria, tu consideras o espaço invariante e a matéria a diminuir, o modelo de expansão considera o contrário... é só uma questão de descrever o fenómeno em relação ao espaço ou em relação à matéria...”
“Espera aí Mário hehe. O teu raciocínio está basicamente certo mas há uns detalhes muito importantes. O primeiro é que no modelo Einstein-de Sitter a expansão é exponencial na nossa unidade de tempo, ou seja, no referencial atómico, enquanto que no desvanecimento é exponencial no referencial R, o referencial onde o espaço é invariante. O segundo é que essa questão de descrever o fenómeno em relação ao espaço ou em relação à matéria está longe de ser trivial.”
“Então?”
“Este fenómeno só é um fenómeno Físico, ou seja, um fenómeno que obedece a leis gerais e a relações lógicas consistentes, portanto, algo que nós podemos compreender, no referencial R. Temos de o estudar em R e depois determinar como ele surge para nós, observadores atómicos, em A.”
“E para nós, ou seja, em A, já não surge como um «fenómeno Físico», algo que possamos compreender?”
“Pois não Ana. É em R que temos de o compreender. Depois tudo fica claro em A.”
“Por isso tu estás sempre a dizer que é como a revolução do Copérnico: visto da Terra o movimento dos planetas no céu não se pode compreender, não obedece a leis gerais; mas em relação ao Sol já se pode compreender.”
“Isso mesmo Ana.”
“Quer dizer, para compreendermos o Universo temos de nos colocar na posição de Deus, sair para fora dele, ah ah... é gira essa ideia...” o Mário tem um fascínio irresistível por ideias novas, os seus olhos brilham de entusiasmo, é isso que me dá esperança de que ele oiça o que tenho para dizer até ao fim.
“Mas afinal, quanto é a semivida da matéria?”
“Então Luísa, agora é fácil! Já tens a lei do desvanecimento em função de t e de H0. Consegues relacionar um com o outro?”
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