Terça-feira, 29 de Julho de 2008

A Lei do Desvanecimento (em R)

 

 

 

 (clicar para ver melhor)

 

 

 

Recapitulando, a lei do desvanecimento, que representei por a(t), reduz-se a metade em intervalos de tempo iguais; esse intervalo de tempo é a semivida da matéria. Isto para o nosso observador exterior à matéria, que vamos designar por observador R, de «referência». Para nós, observadores atómicos, ou observadores A, as coisas são diferentes, como veremos depois. Se designarmos então a semivida por Tau (t), ao fim de t anos, em R, a(t) reduziu-se para ½, ao fim de 2t anos para ¼, ao fim de 3t para 1/8, etc.”


Estou a compreender tudo!


Muito bem Luísa. Então agora vou escrever a fórmula que traduz isto. Vê lá se percebes isto:


 


 


Luísa olha com atenção. “Ah, já percebi; quando t, que representa o tempo, é zero, alfa, que é a lei do desvanecimento, vale 1, porque qualquer número elevado a 0 vale 1 por convenção; quando t vale t , ou seja, decorrida meiavida, alfa vem igual a ½; quando t vale 2t , alfa fica igual a ½ ao quadrado, ao seja, ¼; e etc!” Luísa estava visivelmente feliz e eu visivelmente admirado. Nós todos.


Brilhante, Luísa! Não imaginava...


Tenho um sobrinho no liceu...”, Luísa sorri-se, dará explicações de matemática ao sobrinho?


Mas se sabes isso tudo, diz-me lá, não posso escrever essa fórmula de uma maneira ainda mais simples?


Claro, por convenção um expoente negativo representa o inverso de um número, então podes pôr:


a(t)=2-t/t


 

Muito bem Luísa! É isso mesmo. Agora só nos falta saber o valor de t .”


Então, o tempo de semivida será o tempo que o Universo leva a parecer dobrar de tamanho... se medirmos o tempo que uma dada estrela leva a dobrar a distância..


Esse raciocínio é interessante Luísa mas impraticável, estamos a falar de tempos da ordem de milhares de milhões de anos! E tem um problema, a nossa unidade de tempo varia com o desvanecimento, é uma unidade atómica, portanto a nossa medida de tempo não seria a mesma que um observador invariante faria, o tal observador R; e é para esse observador que a lei do desvanecimento é exponencial, para nós não é.”


Ai não é? Então como é para nós?


Uma coisa de cada vez hehe. Veremos isso depois.


Mas não podemos medir apenas durante um ano ou coisa assim e fazer as contas a quanto variou a distância...


Estás lá perto Luísa; em vez do tempo de semivida podemos usar a taxa de variação instantânea. Variar para metade na semivida é apenas um caso particular da propriedade geral de variar a uma taxa constante. Se o intervalo de tempo for a semivida, a variação relativa é -50%; se for outro, a variação relativa é outra. Estás a perceber?


Por variação relativa queres dizer Da/a...


Isso mesmo Luísa.


Portanto, fazendo uma comparação com as taxas de juro, quando digo que um taxa de juro é de 5% ao ano, estou a dizer que num intervalo de tempo de 1 ano a variação relativa do capital é 0,05...


Isso mesmo Luísa, a taxa é a variação relativa a dividir pelo intervalo de tempo.


Sim, mas as nossas medidas terão sempre o problema de a unidade de tempo atómica variar no tempo...


Não Ana, porque quanto menor o intervalo de tempo, menor a importância da variação da unidade de tempo atómica. Se tiveres um relógio em R e outro em A, que começam a contar o tempo neste instante, ao fim de um milhar de milhões de anos eles marcarão tempos muito diferentes porque a unidade de tempo do relógio em A variou significativamente; mas daqui a um ano a diferença entre os dois relógios é insignificante, tanto faz usares um relógio ou o outro para as tuas medidas . O mesmo em relação às medidas de distância, porque a unidade de comprimento também varia. Estás a ver?”


Estou estou


Portanto, o valor da taxa calculado num intervalo de tempo muito curto é o mesmo para um observador de referência e para nós. Matematicamente, esta taxa instantânea é a derivada da função a dividir pelo seu valor neste instante. Ora nós sabemos a aparente taxa de expansão do Universo..


A taxa de desvanecimento é o simétrico da taxa de expansão! Da constante de Hubble! A taxa de desvanecimento terá de ser o simétrico da constante de Hubble!


Certo Mário. Isso permite-nos imediatamente exprimir a Lei do Desvanecimento em função da taxa. Por acaso não aprendeste isso com o teu sobrinho, Luísa?


Baaahh, agora apanhaste-me em falta...”


Não importa, eu digo. Nós já exprimimos a(t) como uma potência de 2, na base 2 como se diz, onde ela é uma função do tempo de semivida; mas podemos escolher outra base e ela já não virá em função da semivida mas de outro valor, como é lógico. Ora existe um número que escolhido para base nos põe a lei em função da taxa instantânea: o neper.


O quem???


Hehe... é um número muito peculiar, um número irracional, como o p, ou seja, um número que nunca mais acaba: 2,718 e mais uma infinidade de algarismos. Representa-se pela letrinha «e». Como a constante de Hubble se representa por H0, a lei do Desvanecimento vem:


 

Hummm.... interessante... mas então o desvanecimento corresponderá ao primeiro modelo de expansão do espaço, o modelo Einstein-de Sitter, que tem um factor de expansão exponencial... é o modelo dual do desvanecimento. Portanto, o espaço expande exponencialmente em relação à matéria, tu consideras o espaço invariante e a matéria a diminuir, o modelo de expansão considera o contrário... é só uma questão de descrever o fenómeno em relação ao espaço ou em relação à matéria...


Espera aí Mário hehe. O teu raciocínio está basicamente certo mas há uns detalhes muito importantes. O primeiro é que no modelo Einstein-de Sitter a expansão é exponencial na nossa unidade de tempo, ou seja, no referencial atómico, enquanto que no desvanecimento é exponencial no referencial R, o referencial onde o espaço é invariante. O segundo é que essa questão de descrever o fenómeno em relação ao espaço ou em relação à matéria está longe de ser trivial.


Então?


Este fenómeno só é um fenómeno Físico, ou seja, um fenómeno que obedece a leis gerais e a relações lógicas consistentes, portanto, algo que nós podemos compreender, no referencial R. Temos de o estudar em R e depois determinar como ele surge para nós, observadores atómicos, em A.


E para nós, ou seja, em A, já não surge como um «fenómeno Físico», algo que possamos compreender?


Pois não Ana. É em R que temos de o compreender. Depois tudo fica claro em A.”


Por isso tu estás sempre a dizer que é como a revolução do Copérnico: visto da Terra o movimento dos planetas no céu não se pode compreender, não obedece a leis gerais; mas em relação ao Sol já se pode compreender.


Isso mesmo Ana.


Quer dizer, para compreendermos o Universo temos de nos colocar na posição de Deus, sair para fora dele, ah ah... é gira essa ideia...” o Mário tem um fascínio irresistível por ideias novas, os seus olhos brilham de entusiasmo, é isso que me dá esperança de que ele oiça o que tenho para dizer até ao fim.


Mas afinal, quanto é a semivida da matéria?


Então Luísa, agora é fácil! Já tens a lei do desvanecimento em função de t e de H0. Consegues relacionar um com o outro?



 

publicado por alf às 18:45
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17 comentários:
De alf a 29 de Julho de 2008 às 19:28
As pessoas com conhecimentos matemáticos que me perdoem, tive de escrever isto tudo para introduzir minimamente a noção de exponencial.

o caminho mais directo para quem domina conhecimentos de matemática é começar por determinar a relação entre as medidas de tempo em A e em R; tive de começar doutra maneira para fugir ao conceito de integral.
De anonimodenome a 30 de Julho de 2008 às 00:40
Há alguns anos, não muitos, os astrónomos descobriram que o a expansão do universo estava a acelerar. Prontamente inventaram a energia negra, que seria a responsável por esse inesperado facto. Essa energia negra, bem como a muito procurada matéria negra têm de estar bem à frente do nosso nariz.Se estão no universo todo forçosamente teriam de estar dentro de casa e arredores. Mas népia, recusam-se terminantemente a serem fisicamente detectados.
Ora, pela lei do Desvanecimento chega-se à conclusão que o espaço parece expandir cada vez mais depressa. Sem energia negra.
O desvanecimento é muito poupadinho. Esvazia o universo de quase todo o conteúdo energético que lhe vem sendo atribuído.
É uma desvalorização e pêras. Faz lembrar as acções da Bolsa nos dias de hoje.
Só que, em física, ser poupadinho é uma qualidade que por si só pode fazer vingar uma teoria em face das teorias concorrentes (procurar Occam Razor), não havendo outros méritos mais determinantes.
A lei do Desvanecimento das partículas torna bem presente que 'não há almoços grátis'. O mundo também se gasta e envelhece como eu.
Nova máxima no meu ideário: Existe, logo Morre.
o alf talvez aprecie mais esta: Existe, logo Desvanece.

( Parabéns alf. A apresentação matemática está muito bem conseguida. A amiga metódica preguiçosa que se pronuncie,sff)
De alf a 30 de Julho de 2008 às 12:43
anonimodenome, obrigado pelo entusiasmo quase poético!

Para o desvanecimento a aparente expansão do espaço é constante. Rigorosamente linear no tempo.

Isto é o que existe de mais contrário à teoria do BB. Porque nesta a atracção gravítica implicaria que a velocidade de expansão diminuisse ao longo do tempo.
A invenção da energia negra permite pôr a velocidade de expansão a variar de qq maneira - pouca energia, ainda diminui, muita energia, acelera.

O que seria de todo inexplicável neste quadro é que a velocidade de expansão fosse rigorosamente constante. Seria uma grande coincidência que a energia negra fosse na exacta quantidade para contrabalançar, ao longo do tempo, o efeito da gravidade. E quando digo «exacta» é mesmo exacta porque bastaria um mínimo desvio para ao fim deste tempo já se notar um clara aceleração ou desaceleração da expansão.

Mas as observações é exactamente isso que indicam - dentro da margem de erro destas, a velocidade de expansão é constante. Como esse é um resultado inexplicável, afirma-se que a expansão acelera ligeiramente, assim o permite a margem de erro das observações.

Entretanto, as observações de diferentes épocas do universo vêm concluindo diferentes percentagens de energia negra, pelo que o modelo já perdeu toda a coerência, nenhum astrofísico sério vê já nele qualquer possibilidade de ser uma representação física do universo.
De curioso a 30 de Julho de 2008 às 11:09

Alf...

Em primeiro lugar vou tentar ajudar a Luísa:

Facilmente poderemos obter para tempo de meia vida da matéria a expressão ln2/Ho (digo eu)...
Agora o valor do tempo de meia vida vai depender da constante de Hubble.

Mas aqui surge-me uma dúvida. Esta expressão parece só válida em R. Para nós observadores atómicos o valor do tempo de meia vida é variável pois os fenómenos vão tornar-se cada vez mais rápidos e logo o tempo vai passar mais depressa à medida que o Universo vai evoluindo...
Portanto o valor obtido "fora do Universo" não é necessáriamente válido para nós... (digo eu)... e terá que ser maior... (??)

Em relação ao comentário do anónimodenome só uma questão:
A aceleração da expansão "observada" é também devida ao facto do tempo para nós observadores atómicos se tornar mais rápido e o que se está a passar longe (tempo mais lento) parecer para nós mais rápido? (???)...

Abraço

Curioso
De curioso a 30 de Julho de 2008 às 11:16
:-)

Só um esclarecimento:

Quando digo que para nós o tempo é variável estou a referir-me a que se o compararmos com o tempo em R vai ficar cada vez maior... mas nós como observadores atómicos vamos vê-lo sempre a passar da mesma maneira. (??)

Ps: Estou realmente confuso...
Ps2: Também com o cérebro a desvanecer:-) ... deve ser normal...

Curioso
De curioso a 30 de Julho de 2008 às 11:21
Cá estou outra vez:

Só para dizer que onde está escrito:

Portanto o valor obtido "fora do Universo" não é necessáriamente válido para nós... (digo eu)... e terá que ser maior... (??)

deveria estar:

Portanto o valor obtido "fora do Universo" não é necessáriamente válido para nós... (digo eu)... e terá que ser menor... (??)

Curioso

Ps: Isto está mesmo mal...acho que o meu cérebro tem uma constante de Hubble muito maior que o normal...
De alf a 30 de Julho de 2008 às 13:32
Curioso

Pois é, o nosso cérebro fica como peixe fora de água com estas unidades de tempo a variarem! Temos de dar umas voltinhas antes de encontrarmos o «fio da meada»... vamos lá a ver se eu consigo dar uma ajudinha.

O valor da semivida determinado nesta altura é com a nossa unidade de tempo actual. Daqui a mil milhões de anos, a nossa unidade de tempo será menor. A semivida (em R) será a mesma, portanto a nossa medida nessa altura dará um valor maior do que dá hoje.

O melhor será mesmo olhar para isto de R, como um observador invariante. Verá os humanos a diminuirem de tamanho segundo uma lei exponencial, e os seus relógios a acelerarem; vê-los-à a fazerem medidas da semivida, ou da taxa de desvanecimento, obtendo valores crescentes para a primeira e decrescentes para a segunda - porque a unidade de tempo deles vai diminuindo ao longo do tempo.

Isso é até muito interessante - porque, para os humanos, como a unidade de tempo vai ficando mais pequena, o curso do tempo vai acelerando - às tantas, uma hora no seu relógio será um ano nos relógios humanos; uma geração humana será uma hora sua... um minuto...

Bem, espero que esta divagação não aumente a confusão...

Quanto à aparente expansão do espaço para os humanos, se a unidade de tempo destes fosse constante, ela surgiria como exponencial; mas não é, os relógios humanos aceleram e a consequência é que a expansão surge linear, ou seja, as distâncias no universo parecem resultar de processo proporcional ao tempo medido num relógio atómico; mas isto na análise das observações feita em cada instante. Numa análise feita daqui a mil milhões de anos, diremos que a velocidade de expansão é constante mas que se faz a uma velocidade superior à obtida hoje.

Confuso não é? Subtil é decerto... mas depois de ter as equações na mão será mais fácil não nos perdermos.

A mim também me fez muitas dores de cabeça a princípio... portanto, isso é bom sinal!!!

As relações matemáticas disto tudo são simples, como verá; compreender bem estas coisa é um pouco mais sofisticado

De anonimodenome a 31 de Julho de 2008 às 00:12
desculpem o meu engano no comentário acima.
atento na exponencial e, evidentemente, cheguei a uma ilação simplória.

no meu simulador de universo, que cabe numa caixa de sapatos, estou a colocar as distâncias a aumentarem e as massas a diminuírem ao longo do tempo. o relógio deixo com intervalos constantes. creio assim que estou a reproduzir a posição do observador local (referencial atómico). estarei a fazer bem ?
De alf a 31 de Julho de 2008 às 01:43
Não. O simulador do universo tem de seguir leis físicas. Estas aplicam-se em R, não em A.

Portanto, o simulador tem de ser concebido em R. Ou seja, no simulador é preciso fazer a Massa dos corpos diminuir bem como as suas dimensões; as distâncias entre eles não têm de variar, a não ser em consequência da aplicação das leis físicas sobre o sistema de corpos.

Depois pode calcular como é que um observador atómico vê o que se passa, sabendo que a unidade de tempo deste também diminui.

É como emular o sistema solar. Faz-se a emulação de um sistema heliocêntrico, para um observador no Sol; depois calcula-se como é que um observador terrestre vê os planetas no «céu»;

em de se definir o sistema no referencial onde as leis físicas são válidas

mas está a emular concretamente o quê? A evolução do sistema solar no tempo? a estrutura em larga escala?
De anonimodenome@gmail.com a 31 de Julho de 2008 às 05:36
Analisei o código de muitos simuladores gravíticos, disponíveis na net , e o Gravit ' em http :/ gravit.slowchop.com / é muito apelativo visualmente (até imagens em estéreo ele é capaz), é opensource e o autor Gerald Kaszuba escreveu o código de modo muito claro. Adaptei a parte central para tirar partido dos 320 processadores em paralelo (*) da minha placa gráfica (poder que há apenas 10 anos equivalia a 25000 computadores Pentium interligados). et voilá onde nos exemplos ele usa 1.000 partículas eu coloco 10.000. (um factor de escala de 100 porque é uma partícula contra todas, 10.000x10.000 =100.000.000 interacções em vez de 1.000.000).
O programa original cria efeitos lindos mas fisicamente não está correcto. Adicionei mais algumas funcionalidades e também quero colocar o Desvanecimento.

Num modelo de simulação gravítico tem-se na entrada um conjunto de partículas caracterizadas por (massa, posições iniciais no espaço, velocidades iniciais, eventualmente também a aceleração inicial)
Não controlo directamente a dimensão da partícula, embora visualmente corresponde cores diferentes a massas diferentes.
Uso um intervalo de tempo constante no relógio e igual para todas as partículas e o método de integração 'Velocity Verlet', de quarta ordem,que permite uma precisão razoável.
Primeiro também pensei como o alf em estabelecer as contas no referencial absoluto R, mas pareceu-me difícil implementar um intervalo de tempo elementar a variar ao longo do tempo. Decidi então colocar-me no referencial atómico e ter intervalos de tempo elementares constantes,com as distâncias a aumentarem (exp(t*a) ) e as massas a diminuírem (exp(-1*t*a)).
Os algoritmos são simples, baseados no Newton.

(*) em Fevereiro placa ATI HD3870 c/ 320 processadores
e agora já existe a HD4850 com 800 processadores, mais barata e capaz de 1TeraFlop em capacidade de cálculo.

Com a orientação do meu amigo alf posso tentar simular meio-mundo. O mundo todo não, que exagero.


De alf a 31 de Julho de 2008 às 11:44
Estou impressionadíssimo!
Eu tb fiz umas emulações há quase duas décadas... com um programa em turbo Basic e o processadorzito dos computadores pessoais da época... onde isso já vai!

Agora, vejamos uns detalhes.

Não pode fazer a emulação do Desvanecimento em A, ou seja, para nós, porque as leis físicas que conhece são leis instantaneas, ou seja, válidas se aplicadas a um conjunto de medidas tiradas no mesmo instante. As nossas leis físicas descrevem «fotografias» do universo, mas não são capazes de descrever a sua evolução num longo intervalo de tempo - falta-lhes um termo em «t».

Mas são válidas em R, desde que ponha a Massa a variar no tempo. Em R a unidade de tempo é constante, em A é que varia, e creio que aqui está a fazer alguma confusão.

A única alteração que tem de fazer em relação ao cenário habitual para incluir o Desvanecimento, em R, é colocar a Massa a variar no tempo (uma vez que está a emular unicamente processos mecânicos).

Depois quer ver os resultados em A, que é como nós nos apercebemos das coisas. Então, tem de fazer uma transformação de referencial. Que é muito simples, é uma simples mudança de unidades de medida - as medidas de comprimento e de tempo de A diminuem ao longo do tempo.

Simples mas muito subtil. Porque as distâncias aumentam para A porque a sua unidade de comprimento diminui ao longo do tempo; mas esta diminuição só é exponencial em R, onde a unidade de tempo é constante. A Unidade de tempo de A diminui também, logo as distancias não vão aumentar exponencialmente para A.

Se quiser, pode fazer por etapas: primeiro, muda a unidade de comprimento, isto é, passa para um referencial intermédio onde só a unidade de comprimento varia; depois muda a unidade de tempo. É capaz de ser a maneira mais segura de fazer a transformação, se não quiser recorrer à matemática.

Mas não pode fazer directamente a emulação em A a não ser que use as leis que são válidas em A. Lá iremos.

É como modelar o movimento aparente dos planetas no céu - pode começar por fazer uma emulação em no referencial «sol», usando as leis físicas, e depois converter para o referencial «terra», usando as leis da geometria; ou pode calcular directamente no referencial «Terra» mas neste caso não poderá usar as leis físicas mas as que descrevem o fenómeno em relação à Terra, no fundo as leis que Ptolomeu estabeleceu.


Outro aspecto: o Desvanecimento é muitíssimo lento. Emular as consequencias do desvanecimento sobre um sistema de partículas ao longo de tanto tempo parece-me complicado mesmo com tantos processadores. Um modelo de partículas é bom para estudar fenómenos em escalas de tempo onde o desvanecimento quase não se faz sentir ou então exige uma precisão de cálculo avassaladora para que as consequências do desvanecimento possam surgir nos resultados.

Quando emulei as consequências do desvanecimento para o estudo da estrutura em larga escala do universo, não usei um modelo de partículas; estabeleci as propriedades das estruturas básicas que se formavam inicialmente e depois fiz o modelo baseado nas propriedades destas estruturas.

Já para a formação do sistema solar, não é preciso entrar em conta com o Desvanecimento - a escala de tempo do fenómeno da sua formação é suficientemente pequena para se poder desprezar o desvanecimento e trabalhar directamente sobre um sistema de partículas.

Um abraço e continuação de boas emulações... isso é cá um brinquedo... o poder de 25000 Pentiums numa caixa de sapatos...
De antonio a 31 de Julho de 2008 às 14:47
E o teorema de Pitágoras?

Metemos o Hubble na história e ainda não encerrámos o Pitágoras!
De alf a 31 de Julho de 2008 às 18:42
António, o Pitágoras é a revelação última. Se eu dissesse agora, ninguém perceberia do que eu estava a falar. Veriam que eu tinha razão, mas não conseguiriam perceber o significado. Há demasiadas presunções no cérebro que bloqueariam a compreensão. Ficariam com uma grande dor de cabeça a olhar para algo que perceberiam que estava lá mas que não conseguiriam perceber. Primeiro é preciso desenlear o nó de presunções que temos na cabeça. Vá apreciando o caminho que garanto-lhe paisagens fascinantes!
De anonimodenome a 2 de Agosto de 2008 às 00:30
recebi um mail engraçadíssimo.
'As melhores frases dos piores alunos'
vou deixar aqui uma de vez em quando, embora não sejam da minha autoria, nem consiga identificar a fonte.
se não acharem graça basta dizer.
(creio que não vai retirar a seriedade que este site patenteia)
------------------
O metro é a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre e para o cálculo dar certo arredondaram a Terra!
------------------
De alf a 2 de Agosto de 2008 às 02:37
hummm.... mas olha que a frase não é disparatada... para suportar essa definição de metro assume-se a Terra como uma esfera... ou seja, arredonda-se o modelo da Terra... arredonda-se a Terra!

(isto para mostrar que o disse no comentário anterior se verifica: há sempre mais do que uma maneira de interpretrar qualquer coisa - seja um comportamento, um fenómeno físico, ou mesmo uma frase.)
De Diogo a 2 de Agosto de 2008 às 20:46
Caro Alf, até fins de Agosto estou intermitentemente a banhos. Mas em Setembro proponho-lhe um fórum para discutirmos a fundo estas questões. Bale?
De alf a 3 de Agosto de 2008 às 18:17
Caro Diogo, em Setembro estou eu a banhos... mas como a internet está em toda a parte, não deixarei de corresponder a qualquer iniciativa desse tipo que tomar. Parece-me uma boa ideia. Não me peça mais do que participar no forum e responder às questões que me forem postas; mas suponho que isso é tudo o que pretende. Fico a aguardar. Bons banhos!

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