Quinta-feira, 26 de Março de 2009

A Aceleração da Bolha

 

A fórmula da aceleração da bolha? A uma hora destas? A criança é tua, não é minha...” desabafa o Mário; Luísa ri-se, divertida, mas aproveita logo para «picar» o Mário:
 
Então, Mário, deu-te a preguiça? Ou perdeste a pedalada?”
 
Cala-te! E enche-me o copo!”
 
Ah ah, o trabalho primeiro...” rindo, Luísa agarra a garrafa e afasta-a.
 
Seja. Isso é imediato, está no último desenho: a aceleração é g=GM/r2, em que r é o raio da face interna da casca... presumindo que a casca é fina, de espessura desprezável, podemos tomar r como o raio da bolha... suponho que seja o caso?” O Mário vira-se para mim em interrogação.
 
É o caso sim, mas as tuas contas não estão completas nem estão certas.”
 
Como assim?”
 
Quanto vale o «M»?”
 
Ah, sim, M é a matéria correspondente ao volume ocupado pela esfera, portanto, sendo d a densidade da matéria no Universo, M=4/3(pi) r3d; agora é só substituir na expressão de g.”
 
Espera; eu disse que não estava certo; há um detalhe que te está a escapar...”
 
Mário pegou no PC para observar com atenção a figura da bolha. “Já sei, a aceleração varia entre GM/r2 e 0 ao longo da casca; então a matéria do lado dentro da casca passa para fora e fica a aceleração zero e a de fora passa para dentro para a aceleração máxima e o resultado é que a casca sofre a aceleração média, 1/2 GM/r2!”
 
Isso mesmo Mário! Substituindo temos então o que está nesta figura:” e abro uma nova figura. Mostro ao Mário. Ele medita uns instantes.
 
 
 
 
A velocidade é a aceleração vezes o tempo... mas a aceleração cresce com o raio... isto vai dar uma curva de crescimento da bolha muito rápida...”
 
Pois vai Mário, para um observador atómico a Bolha tem um crescimento quase explosivo; mas não tanto para o nosso observador de referência, porque para este a massa está a desvanecer-se, portanto d diminui exponencialmente no tempo, ficando:
 
g=2/3(pi) r d0 e-H0tR
 
Mário olha atentamente para a fórmula que eu escrevi, certamente tentando perceber as características do crescimento de um Bolha para um observador invariante.
 
Se bem me lembro do que já disseste, a densidade reduz-se a metade em cerca de uma dúzia de mil milhões de anos, portanto o termo exponencial não deve pesar muito na fórmula inicialmente, continua a ser um crescimento muito acelerado, mas depois a aceleração deverá começar a diminuir e a velocidade deve tender para um valor máximo...”
 
Certo Mário. Esse valor vai-nos permitir saber coisas importantes e com essa expressão podemos partir da estrutura em larga escala actual e traçar a história do Universo em direcção ao passado. Mas não fazemos fazer isso, uma análise quantitativa seria pesada demais para esta hora da noite! Em vez disso, vamos ver como as bolhas originaram as restantes estruturas do universo com uma simples análise qualitativa.”
 
Mas espera aí, e se em vez de partires dum vazio inicial, partisses de um aumento local de densidade de matéria? Falta analisar isso!”
 
Pois falta, mas como eu sei que essa análise não é importante para agora, vamos é seguir em frente com as bolhas, porque aí é que surgem as coisas interessantes. Se acabarmos antes de o sol nascer e com vocês ainda acordados, então poderemos analisar os «grãos», que é como chamo a esse caso oposto ao da Bolha.”
 
Bora lá então. Vamos ver essas bolhas crescerem. Também vamos numa cápsula do tempo ou agora vais inventar outra coisa?”

 

publicado por alf às 02:20
link do post | comentar | ver comentários (16) | favorito
|
Quarta-feira, 11 de Março de 2009

O Campo da Bolha

 

Isso é muito bonito, essas esferas e cascas são muito verdinhas, mas continuo com a mesma dúvida: como é que esse vazio que pode acontecer no seio dessa matéria rarefeita se torna numa bolha crescente?”

 

Impaciente Luísa! É que eu ainda não mostrei os bonecos todos. Agora vamos fazer contas de subtrair e já vais perceber.” Virei o PC para mim e abri outra imagem:

 

 

 

 

  

O que é que isto significa, minhas inteligências?”

 

Lembra-me a bandeira do Japão...” e a Luísa ri-se com aquele prazer que os adultos já esqueceram. A Ana, atenta, diz:

 

A distribuição inicial é igual à que resulta da soma dum buraco com uma esfera.”

 

Exactamente Ana. Ora o campo numa distribuição isodensa é nulo, como já vimos; então, qual é o campo do buraco?”. Pelo canto do olho vejo o sorriso de assentimento do Mário. A Ana vai responder mas, estendendo o braço, a Luísa antecipa-se:

 

O simétrico do campo da esfera, pois claro! Somado com o da esfera anula-se!!!” E bate com a mão na testa.

 

Muito bem Luísa, vejo que começa a fazer-se luz. Vejamos então o campo do buraco:” e abro o desenho seguinte.

 

 

 

Está certo, não está?” Dizem que sim com a cabeça. “Agora reparem no seguinte: a aceleração é máxima na parede do buraco, o que significa que as partículas aí situadas se tornarão mais velozes na direcção de fuga ao centro da bolha do que as que se encontram para fora delas; então irão ultrapassa-las. Ao fazê-lo, são agora outras as que ficam na fronteira do buraco e são estas as que vão ser mais aceleradas. Estão a ver o que vai acontecer?

 

Sim... as que ficam do lado de dentro ultrapassam as de fora, depois estas ficam por dentro e voltam a ultrapassar as primeiras... que ficam então por dentro e voltam a ultrapassar as outras... que ficam...”

 

Cala-te!” interrompe a Ana a rir-se, “Já percebemos, o buraco expande e as partículas acumulam-se na sua periferia.

 

E isso assemelha-se a...”

 

“...uma casca?”

 

Isso mesmo Luísa! O buraquinho inicial vai crescer e formar uma casca. E o campo resultante será o campo da casca somado ao do buraco:”

 

 

 

Como vêem em baixo, na figura, o campo na face interior da bolha é o simétrico do campo da matéria em falta, e o campo no exterior da bolha é nulo porque a matéria da casca é a que falta no interior. Quanto mais cresce a bolha, e maior é o vazio que produz, maior é a sua aceleração. A fórmula da aceleração da bolha é muito fácil de determinar, não é Mário?”

 

publicado por alf às 14:29
link do post | comentar | ver comentários (9) | favorito
|
Domingo, 1 de Março de 2009

As curiosas propriedades do campo das esferas

 

 

Não estou a perceber o que é isto de...” Luísa debruça-se sobre o monitor para ler a letra miudinha da terceira imagem, “ ... «todas as partículas da sua fronteira vão ficar sujeitas a um campo que é o simétrico do campo correspondente a toda a matéria que falta agora no seu interior»...

 

A Luísa tem razão, eu escrevi aquilo para pessoas com conhecimentos que a Luísa não tem; preciso explicar as propriedades das distribuições esféricas. “Claro, Luísa, tens razão, mas vou já explicar-te isso... a não ser que o Mário queira fazer o favor de explicar as curiosas propriedades das distribuições esféricas...”,

 deixo o convite no ar, ser professor é talento do Mário, não meu. O Mário hesita um momento, exprime a sua admiração:

 

Mas porque queres explicar isso à Luísa e à Ana?

 

Porque, Mário, com esse simples conhecimento, nós vamos conseguir o que os maiores supercomputadores não conseguiram...

 

Lá estás tu a passares-te outra vez!” Muito se irrita o Mário com estas coisas que eu digo. Acalmo-o: “Explica lá as propriedades das distribuições esféricas e depois veremos se eu estou bom da cabeça ou não.”, rio-me.

 

Mário inspira para se acalmar, percebo que organiza o pensamento, ei-lo:

 

Dizes bem, curiosas propriedades...”, sorri-me, aprecio o seu autocontrolo “ Sabem como é o campo gravítico produzido por um corpo, não é verdade?

 

A Ana recita:

 

A aceleração é proporcional à massa do corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância.”

 

Isso mesmo. Se tivermos um corpo A, de massa M, qualquer corpo B que esteja à distância d sofre uma aceleração gravítica g que é dada por:

 

g = GM/d2

 

Esta afirmação contém, no entanto, uma imprecisão: como é que se mede a distância d? Entre as superfícies dos corpos A e B? Entre os seus centros?

 

Centro a centro, suponho... senão a nossa distância à Terra seria nula e a aceleração da gravidade infinita...”

 

Isso mesmo Ana. Se fizermos as contas ao campo produzida por uma esfera uniforme, verificamos que é igual ao campo de um corpo punctiforme no centro da esfera com a massa M. Eis aqui a primeira propriedade interessante do campo exterior de uma esfera: é igual ao campo que se obtém supondo toda a matéria concentrada no seu centro. Perceberam?”

 

Sim, isso eu já tinha percebido, é lógico.”, a humildade não faz o estilo da Luísa.

 

Óptimo. Então passemos agora a uma casca esférica. Suponhamos que o corpo era oco. Essa equivalência ainda se manterá?”

 

Claro! Porque não? Afinal, uma esfera maciça não é mais que uma sequência de cascas justapostas...”

 

Bem observado Luísa, é isso mesmo. Portanto, tanto o campo exterior duma esfera como o duma casca esférica são o campo que se obtém considerando toda a matéria concentrada no centro. Quanto ao campo exterior, o assunto está resolvido. Mas quanto ao campo interior? Vamos por B dentro da casca! Qual será o campo em B?”

 

Xiii, com essa é que me atrapalhaste!”, o riso juvenil da Luísa enche a sala,então... no centro o campo deve ser nulo, pois o centro é atraído para todos os lados igualmente, certo?

 

Certíssimo! E fora do centro?”

 

Bem... na superfície externa da casca o campo é ... GM/R2 , sendo R o raio da casca... será que o campo varia linearmente entre o centro e a superfície?”

 

Hummm.... será? O que achas Ana?”

 

O que acho?”, a Ana surpreendida, aluna apanhada desatenta; a Ana não gosta de mandar palpites: “ Não sei, teria de fazer as contas, dividir a casca em bocadinhos, calcular a atracção de cada bocadinho e somar.”

 

Essa soma é o integral. É fácil de calcular e o resultado é algo surpreendente.”

 

Sim? Então, qual é?”

 

O Mário inspira antes de largar a «bomba»:

 

"O campo no interior duma casca é nulo em toda a parte!". O silêncio que se segue é quebrado pela Luísa:

 

Então o campo varia bruscamente entre a face interior e exterior da casca?”

 

Isso mesmo Luísa: na face interior é nulo, na exterior é GM/R2, variando linearmente ao longo da espessura da casca.”

 

E numa esfera de densidade uniforme, como varia o campo no seu interior?” a Ana curiosa.

 

Agora é fácil deduzir isso; basta considerarmos a superfície esférica concêntrica que passa num ponto interior. O campo devido à coroa exterior a essa superfície é nulo, por ser o campo no interior duma casca; resta o campo devido à esfera interior. As contas são muito simples e o resultado é que o campo varia linearmente no interior.”

 

Lembro-me dumas figuras que tenho no computador.Tenho aqui umas figuras que ilustram o campo de uma esfera maciça e de uma casca, querem ver:”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

publicado por alf às 23:04
link do post | comentar | ver comentários (32) | favorito
|
Creative Commons License
Esta obra está licenciada sob uma Licença Creative Commons.

.ATENÇÃO: Este blogue é um olhar para além das fronteiras do Conhecimento actual. Não usar estas ideias em exames de Física do Liceu ou da Universidade.

.pesquisar

 

.posts recentes

. paciência, muita paciênci...

. Listem

. A Self-similar model of t...

. Generalizando o Princípio...

. Generalizando o Princípio...

. O Voo do Pombo Correio

. A Relativistic Theory of ...

. Como modelar uma nova teo...

. A Relativistic Theory of ...

. Abstract

.arquivos

. Março 2012

. Julho 2011

. Março 2010

. Dezembro 2009

. Novembro 2009

. Outubro 2009

. Setembro 2009

. Agosto 2009

. Julho 2009

. Junho 2009

. Maio 2009

. Abril 2009

. Março 2009

. Fevereiro 2009

. Janeiro 2009

. Dezembro 2008

. Novembro 2008

. Outubro 2008

. Setembro 2008

. Agosto 2008

. Julho 2008

. Junho 2008

. Maio 2008

.links

blogs SAPO

.subscrever feeds