Domingo, 1 de Março de 2009

As curiosas propriedades do campo das esferas

 

 

Não estou a perceber o que é isto de...” Luísa debruça-se sobre o monitor para ler a letra miudinha da terceira imagem, “ ... «todas as partículas da sua fronteira vão ficar sujeitas a um campo que é o simétrico do campo correspondente a toda a matéria que falta agora no seu interior»...

 

A Luísa tem razão, eu escrevi aquilo para pessoas com conhecimentos que a Luísa não tem; preciso explicar as propriedades das distribuições esféricas. “Claro, Luísa, tens razão, mas vou já explicar-te isso... a não ser que o Mário queira fazer o favor de explicar as curiosas propriedades das distribuições esféricas...”,

 deixo o convite no ar, ser professor é talento do Mário, não meu. O Mário hesita um momento, exprime a sua admiração:

 

Mas porque queres explicar isso à Luísa e à Ana?

 

Porque, Mário, com esse simples conhecimento, nós vamos conseguir o que os maiores supercomputadores não conseguiram...

 

Lá estás tu a passares-te outra vez!” Muito se irrita o Mário com estas coisas que eu digo. Acalmo-o: “Explica lá as propriedades das distribuições esféricas e depois veremos se eu estou bom da cabeça ou não.”, rio-me.

 

Mário inspira para se acalmar, percebo que organiza o pensamento, ei-lo:

 

Dizes bem, curiosas propriedades...”, sorri-me, aprecio o seu autocontrolo “ Sabem como é o campo gravítico produzido por um corpo, não é verdade?

 

A Ana recita:

 

A aceleração é proporcional à massa do corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância.”

 

Isso mesmo. Se tivermos um corpo A, de massa M, qualquer corpo B que esteja à distância d sofre uma aceleração gravítica g que é dada por:

 

g = GM/d2

 

Esta afirmação contém, no entanto, uma imprecisão: como é que se mede a distância d? Entre as superfícies dos corpos A e B? Entre os seus centros?

 

Centro a centro, suponho... senão a nossa distância à Terra seria nula e a aceleração da gravidade infinita...”

 

Isso mesmo Ana. Se fizermos as contas ao campo produzida por uma esfera uniforme, verificamos que é igual ao campo de um corpo punctiforme no centro da esfera com a massa M. Eis aqui a primeira propriedade interessante do campo exterior de uma esfera: é igual ao campo que se obtém supondo toda a matéria concentrada no seu centro. Perceberam?”

 

Sim, isso eu já tinha percebido, é lógico.”, a humildade não faz o estilo da Luísa.

 

Óptimo. Então passemos agora a uma casca esférica. Suponhamos que o corpo era oco. Essa equivalência ainda se manterá?”

 

Claro! Porque não? Afinal, uma esfera maciça não é mais que uma sequência de cascas justapostas...”

 

Bem observado Luísa, é isso mesmo. Portanto, tanto o campo exterior duma esfera como o duma casca esférica são o campo que se obtém considerando toda a matéria concentrada no centro. Quanto ao campo exterior, o assunto está resolvido. Mas quanto ao campo interior? Vamos por B dentro da casca! Qual será o campo em B?”

 

Xiii, com essa é que me atrapalhaste!”, o riso juvenil da Luísa enche a sala,então... no centro o campo deve ser nulo, pois o centro é atraído para todos os lados igualmente, certo?

 

Certíssimo! E fora do centro?”

 

Bem... na superfície externa da casca o campo é ... GM/R2 , sendo R o raio da casca... será que o campo varia linearmente entre o centro e a superfície?”

 

Hummm.... será? O que achas Ana?”

 

O que acho?”, a Ana surpreendida, aluna apanhada desatenta; a Ana não gosta de mandar palpites: “ Não sei, teria de fazer as contas, dividir a casca em bocadinhos, calcular a atracção de cada bocadinho e somar.”

 

Essa soma é o integral. É fácil de calcular e o resultado é algo surpreendente.”

 

Sim? Então, qual é?”

 

O Mário inspira antes de largar a «bomba»:

 

"O campo no interior duma casca é nulo em toda a parte!". O silêncio que se segue é quebrado pela Luísa:

 

Então o campo varia bruscamente entre a face interior e exterior da casca?”

 

Isso mesmo Luísa: na face interior é nulo, na exterior é GM/R2, variando linearmente ao longo da espessura da casca.”

 

E numa esfera de densidade uniforme, como varia o campo no seu interior?” a Ana curiosa.

 

Agora é fácil deduzir isso; basta considerarmos a superfície esférica concêntrica que passa num ponto interior. O campo devido à coroa exterior a essa superfície é nulo, por ser o campo no interior duma casca; resta o campo devido à esfera interior. As contas são muito simples e o resultado é que o campo varia linearmente no interior.”

 

Lembro-me dumas figuras que tenho no computador.Tenho aqui umas figuras que ilustram o campo de uma esfera maciça e de uma casca, querem ver:”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

publicado por alf às 23:04
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32 comentários:
De antonio - o implume a 2 de Março de 2009 às 10:34
Por vezes sinto-me nas nuvens, o que eu não sabia é que por mais que eu tenha os pés bem assentes no chão, a minha distancia à terra se mede em relação ao seu centro.

Estou, a partir de agora, eternamente desculpado! Não pertencemos a esta terra, apenas flutuamos sobre a sua superfície. O que se aprende por aqui!
De alf a 2 de Março de 2009 às 13:39
Eheh... muito bem observado!
De Peter a 2 de Março de 2009 às 17:46
Beleza Arrasadora (Força Gravitacional)

Pouco importa minha beleza
Ou meu físico avantajado
Só sei que estou atraindo
A garota do meu lado

Com gezão, emão, eminho
Sobre distância ao quadrado
(F = G.M.m/d2)
Com gezão, emão, eminho
Sobre distância ao quadrado
(F = G.M.m/d2)

Essa força é universal
Atua em qualquer lugar
Do espaço sideral
Até nas ondas do mar

Tanto dentro quanto fora
Do sistema solar

O campo gravitacional
É criado por que tem massa
É por isso que estou atraindo
toda menina que passa

Pra saber o peso de um corpo
Uso Maria das Graças
(P = m.g)
Pra saber o peso de um corpo
Uso Maria das Graças
(P = m.g)

O período de um satélite
Não depende de sua massa
Vale o mesmo para um corpo pesado
Ou tão leve como fumaça

Uma massa muito grande
Atrai de tudo que é lado
Cria um campo medonho
Chega a ser exagerado

Pois é igual a gezão, emão
Sobre distância ao quadrado
(g = G.M. /d2)

Qualquer corpo arremessado
Com velocidade V
Pode ser que entra em órbita
Se essa lei obedecer

V é raiz quadrada de gê (G)
Vezes eme (M) sobre dê (d)

O período de um satélite
Não depende de sua massa
Vale o mesmo para um corpo pesado
Ou tão leve como fumaça

(http://en.sintonizate.net/musica/pachecao/509024.html)
De alf a 3 de Março de 2009 às 03:13
Obrigado Peter! Esse portal é bem curioso.
De anonimodenome a 2 de Março de 2009 às 19:35
Isto é que vai uma crise !
Se se está no buraco não se sai de lá.
Quem está fora quer entrar.
Quem está entalado entre as duas paredes quer sair.
E o buraco a aumentar. É uma crise.
Moral: não há saída para a crise.

De alf a 3 de Março de 2009 às 03:15
a crise não está aí, ainda não chegamos lá rsrsrs. Primeiro temos de pôr as bolhas a crescer; mas há uma altura em que elas estoiram! Aí é que iremos ver a saída para a crise...

Boa analogia.
De Curioso a 2 de Março de 2009 às 20:06
Muito bem explicado...
Só me surgiu uma dúvida...

Porquê a variação linear do campo dentro da esfera?

Mas penso que já encontrei a resposta... tem a ver com o facto da massa no interior uma esfera homogénea ser proporcional ao seu raio ao cubo, o que nos leva a concluir que o campo varia linearmente com r (r^3/r^2)=r.
À partida a situção de uma bolha é semelhante ao segundo caso...mas a casca em teoria prolonga-se indefinidamente para fora... e o campo resultante não pode ter o sentido do centro... mas exactamente o contrário... pois assim as bolhas não cresceriam...

A mim parece-me que no centro da bolha o campo será nulo e que irá aumentando até um valor máximo na superfície exterior da bolha... depois voltará a diminuir na parte de fora da bolha até zero.
De notar que o vector campo resultante apontará para fora... ao contrário das situações apresentadas...

Mas esta é a minha opinião..

Abraço.

Curioso.

Ps.

Obrigado por continuar a postar...
De anonimodenome a 3 de Março de 2009 às 00:20
Sem ter a veleidade de explicar melhor que o alf vou tentar, de um modo intuitivo, mostrar que o campo no interior de uma esfera oca é nulo. (a duas dimensões é mais fácil).
Supõe que estás com um par de skys nos pés junto à periferia interior da Rosa dos Ventos em Belém (espero que não neve por lá em breve), voltado para o ponto mais perto da periferia e com as pontas dos skys estão a tocar nela. O ponto de intersecção dos skys, atrás de ti, é o ponto 'P' onde vamos calcular o campo. Ao longo dos skys passam duas rectas que intersectam a periferia da Rosa dos Ventos em quatro pontos 'A' e 'B' à tua frente e 'C' e 'D' nas tuas costas. Como estás perto da periferia, o arco entre os pontos 'A' e 'B' é muito pequeno. Agora compara com o comprimento muito maior do arco oposto entre 'C' e 'D'. Por estar mais perto a força exercida pela periferia ao longo do arco mais pequeno é grande por cada centímetro de periferia. No arco oposto tens mais massa a considerar ao longo do arco muito maior mas, como está mais longe acaba por ficar empatado com a força ao longo do arco mais curto. A resultante é zero para todos os pontos interiores à circunferência.
Com um boneco e percebe-se muito melhor.
Espero que tenhas percebido e que o alf não se zangue comigo.
De anonimodenome a 3 de Março de 2009 às 00:43
Já tem o boneco aqui: http://up-ship.com/blog/wp-content/uploads/2009/01/dyson11.jpg
que está na página http://up-ship.com/blog/?cat=25
juntamente com uma explicação equivalente em inglês.
De alf a 3 de Março de 2009 às 03:37
anonimodenome

O Curioso não teve dúvidas em relação ao campo de uma casca, ele refere-se à bolha que se forma no seio de uma distribuição uniforme e isotrópica de matéria, se bem o percebi.

o amigo Curioso é um ET de verdade...

Mas a tua explicação é útil, eu só não escrevi algo nesse género porque iria alongar muito o post, certamente que os leitores humanos apreciarão.
De Curioso a 3 de Março de 2009 às 10:54
Obrigado mas esse não era o meu problema...
eu quando me refiro às bolhas estou a referir-me a uma esfera oca com uma distribuição de massa uniforme à volta até ao infinito (ou até ao limite do horizonte...)

De qualquer forma obrigado...

Curioso
De alf a 3 de Março de 2009 às 03:32
Certinhas as contas em relação ao campo interior da esfera.

Em relação à bolha... certo também, como veremos.

Até parece que já leu os meus escritos... Sabe que já recebi emails de pessoas desconfiadas que o «Curioso» é uma personagem inventada por mim? E o mais curioso é que eu não faço a mais pequena ideia de quem o Curioso possa ser!

Abraço... curioso!
De Curioso a 3 de Março de 2009 às 11:09
A única coisa que o Curioso poderá garantir é que não é uma personagem inventada pelo Alf... mas certamente não existiria se o Alf não existisse...

Espero que fiquem esclarecidos.

Bom dia a todos

Curioso.
De Curioso a 3 de Março de 2009 às 11:39
Ah ...

Posso garantir ainda outra coisa...

Os únicos escritos do Alf que li foi no "outramargem" e no "outra física"... Em mais local nenhum...

Curioso.
De alf a 3 de Março de 2009 às 13:07
Curioso

Espero que não tenha ficado aborrecido. É natural que pessoas cuja área de formação não é em ciências se surpreendam com a compreensão destes assuntos que os seus comentários evidenciam. Além disso, não sei se sabe, mas é frequentíssimo autores de blogues aparecerem com pseudónimo a comentarem no seu próprio blogue ou noutros blogues. Ou terem diferentes identificações em diferentes blogues seus.

Eu não faço isso, mas muita gente faz. No fundo, o Fernando Pessoa até tinha uns 70 pseudónimos... E não seria absurdo que eu recorresse a mais um personagem complementar para explicar, através dos comentários, aquilo que não cabe no texto do blogue. Até faço isso, mas é com a personagem «alf»!

Os meus textos têm uma circulação muito restrita, ainda estou a amadurecê-los. O anonimodenome encontrou um num caixote do lixo, como ele já contou, e foi esse o seu primeiro contacto com a teoria.

Essa suspeita de que seria um pseudónimo meu é uma homenagem, os outros leitores sentem o mesmo que eu: o Curioso é um verdadeiro «filósofo natural», que nos ajuda no caminho da compreensão. Não ter perfil contribui para se tornar uma personagem de mistério... pois aqui somos todos pessoas de muita imaginação, não é verdade?

Um abraço.

De Curioso a 4 de Março de 2009 às 09:56
Não fiquei minimamente aborrecido...

e não mereço minimamente o título de "filósofo natural".
Na realidade não passo de um simples "Curioso".

Abraço.

Curioso.
De CSousa a 4 de Março de 2009 às 10:17
Concordo com a função do campo para a bolha vazia descrita pelo Curioso. Parece-me que o gráfico será simétrico (em relação ao eixo d) do primeiro gráfico que expôs. Ou seja é como se a bolha fosse uma massa negativa que repele o exterior.

Cumprimentos
De CSousa a 4 de Março de 2009 às 14:43
Mas há um pormenor que me está a fazer confusão, desde do post anterior aliás:

Para se formar a bolha retirou-se uma partícula, mas essa partícula teve que ir para algum lado certo?
Então essa partícula que formou a lacuna que "repele" a matéria num ponto, dando origem à bolha vazia, estará noutro ponto a formar um campo gravítico que dará origem um aglomerado de matéria. Não?

Parece-me que o modelo do post anterior é bom para ilustrar a origem da bolha mas por outro lado não é completo.
Se pensarmos num modelo em que existe uma partícula a mais (em vez de faltar), chegar-se-ia à conclusão de que se formariam aglomerados (esféricos) de matéria.

Tenho seguido este blog, alf , e tenho achado muito lógicas as suas teorias, mas acho que a esta falta algo.

De alf a 4 de Março de 2009 às 16:57
CSousa

Obrigado pelo seu comentário.
A questão que põe é pertinente e ainda bem que a pôs porque eu hesitava se havia de falar dela ou não - tenho de seleccionar as coisas que desenvolvo para não tornar isto confuso.

Iremos então, daqui a 2 posts, ver o que acontece com um aumento local de densidade.

Para já, pode simplesmente pensar que as partículas que originaram o buraco se encontram na periferia deste, portanto, formam a «casca». De facto, esta é a melhor representação de uma diminuição local de densidade: devido às velocidades iniciais, acontece com uma certa probabilidade que um certo número de partículas vizinhas tenha trajectórias divergentes e origine um vazio local rodeado por uma zona de maior densidade, que é para onde as partículas se deslocaram; ou seja, uma casca, ou bolha, rudimentar.

Depois analisaremos o oposto - o caso das trajectórias convergentes que originam um aumento de densidade local, a que chamo «grão». Como verá, o que será contra-intuitivo, do «grão» não resulta nada de relevante, é uma estrutura autolimitada.

Veja por exemplo, as estrelas: a nossa galáxia está cheia de estrelas que fazem o seu percurso de vida sem crescerem, sem se afectar umas às outras, apesar de estarem num meio imensamente mais denso que a distribuição inicial, ; e isto é assim há muitos milhares de milhões de anos. Uma bolha, ao contrário, é uma estrutura que «explode», pois o seu crescimento segue uma lei superior à exponencial, e varre a matéria no seu percurso, comprimindo-a na interseção das cascas.

... a ver nos próximos capítulos.
De __gary__ a 4 de Março de 2009 às 16:09
de fato é sempre um real prazer ler este blog.

muito pertinente e interessante o comentário do curioso afinal nas teorias sempre idealizamos as coisas, mas afinal a espessura dessa tal esfera poderia ser infinita, ou como bem colocado até o horizonte, de tal forma que este acontecimento proporcionaria o que em termos de campo na vasta casca da esfera ou até mesmo na bolha que está a surgir dentro da casca?

pelo li o campo teria que variar linearmente na casca mesmo que a mesma fosse infinita.. mas se bem me lembro o alf disse que a distribuição isotropica de massa não permitiria campo resultante no interior da esfera logo estou em duvidas.. seria porque a isotropia ja teria sido quebrada e por isso há campo variando linearmente na casca?

sim estou fazendo um paralelo entre uma casca esferica de espessura muito grande e com um centro vazio muito pequeno e uma esfera maçiça e estou vendo o obvio.. são praticamente a mesma coisa, porém tem propriedades bem diferentes.

pode me ajudar alf? e também tenho a mesma dúvida do souza se a primeira particular ao invés de sumir só se deslocasse geraria aglomerados?
De alf a 4 de Março de 2009 às 17:25
gary

obrigado pelas suas palavras amáveis. O interesse do blogue está tanto nos posts como nos comentários, que são um verdadeiro forum.

A sua questão é pertinente e muito bem observada, mas a sua dúvida nasce do seguinte: não é relevante se a casca é finita ou infinita, o que é relevante é o horizonte de cada parícula; porque a matéria não existe desde sempre, tem uma idade, por isso o campo de cada partícula tem um alcance que é igual a essa idade em anos-luz.

Nos casos analisados neste post, o horizonte das partículas engloba todas as partículas consideradas e mais nenhumas.

Se começar a aumentar a espessura da casca, chega uma altura em que o horizonte de algumas partículas fica todo dentro da casca; para essas partículas, o campo é nulo. Para as partículas cujo horizonte interseta o vazio, o campo não será nulo e é fácil de calcular. Para saber como varia o campo ao longo duma casca de espessura maior que o horizonte, é só ir deslocando a circunferência que marca o horizonte ao longo da espessura da casca. Se tiver dúvidas sobre isso, no próximo post dissipar-se-ão.

Quanto ao caso da sobredensidade em vez do vazio, espero que a resposta que dei a CSousa seja suficiente por agora; veremos isso com mais detalhe a seguir.
De CSousa a 4 de Março de 2009 às 18:30
Ok

Acho que percebi :) A bolha cresce, o grão não.

Será porque o vazio em redor de um grão é como uma "bolha" com forma de coroa esférica? :
As partículas na superfície exterior desta coroa não serão atraídas para o grão porque a massa do grão cria um campo igual ao criado caso o mesmo não existisse e existisse apenas distribuição uniforme no seu lugar ( curiosa propriedade do campo das esferas :) ).

Será a estrutura em grão algo instável que rapidamente degenera em bolha?



De alf a 5 de Março de 2009 às 12:34
CSousa

É exactamente como diz!

Quanto ao grão ser instável, podendo ser a «semente» de uma bolha, não sei, terei de analisar essa possibilidade com muito cuidadinho, mas até agora ainda não encontrei uma razão que me leve a pensar que possa ser. Penso que o mais provavel é que os «grãos» sejam "atropelados" pela bolha mais próxima.
De CSousa a 5 de Março de 2009 às 17:05
Parece-me aceitável que grão seja rapidamente empurrado para a casca...

Alf, cada vez mais acho este "Um Universo que pode ser explicado às crianças". Fantástico.

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